Hilbert studierte unter Lindemann an der Universität von Königsberg, wo er auch 1885 seine Dissertation schrieb und bis 1895 dort lehrte. Danach nahm er auf Betreiben von Felix Klein eine Professur in Göttingen an, wo er den Rest seines Lebens wirkte. Später setzte er durch, dass sein Freund Hermann Minkowski ebenfalls eine Professur in Göttingen erhielt. 1930 wurde er emeritiert.

Hilberts Werk ist von außerordentlicher Bedeutung in der Mathematik und mathematischen Physik. Viele seiner Arbeiten begründeten eigene Forschungsgebiete. Seine Vorschläge zu den Grundlagen der Mathematik ("Hilberts Programm") führten zu einer kritischen Analyse, was Mathematik und mathematisches Beweisen überhaupt sind. Mit einer Rede auf dem Weltmathematikerkongress in dem Jahre 1900, wo er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, bestimmte er die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.

Bis etwa 1893 leistete er Beiträge zur Invariantentheorie . Unter anderem bewies er den Hilbertschen Basissatz (jedes Polynomideal besitzt eine endliche Basis). In seinem Nullstellensatz zeigte er den eindeutigen Zusammenhang von Nullstellen von polynomialen Gleichungen und Polynomidealen. Damit verband er Geometrie und Algebra, was zur Entwicklung der algebraischen Geometrie führte.

In seinem bedeutenden Werk "Zahlbericht " von 1897 (algebraische Zahlentheorie), fasste er Arbeiten von Ernst Eduard Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind mit eigenen Ideen zusammen.

Er analysierte die Geometrie des Euklid und in den "Grundlagen der Geometrie " 1899 veröffentlichte er erstmals ein vollständiges Axiomensystem für die euklidische Geometrie.

1900 stellte er auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris eine Liste von 23 mathematischen Problemen vor, die für ihn von heraussragender Wichtigkeit für die Mathematik waren.

1920 stellte er die Forderung auf, die Mathematik vollständig auf die Grundlage eines konsistenten Axiomsystems zu stellen. Dieses Bestreben wurde als Hilberts Programm bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte der den Begriff Metamathematik (in Anlehnung an Metaphysik). Dieses Bemühen erlitt einen herben Rückschlag mit der Veröffentlichung des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes durch Kurt Gödel 1930.

In der Variationsrechnung stellte Hilbert das von Riemann in dessen Abbildungssatz benutzte Dirichlet-Prinzip auf feste Grundlagen. In den Integralgleichungen schloss er einige Lücken von Fredholm in dem Beweis der fredholmsche Alternative . Diese Themen flossen wesentlich in die Entwicklung der Funktionalanalysis ein. Insbesondere der wichtige Hilbert-Raum ist untrennbar mit seinem Namen verbunden.

Hilberts Arbeiten zu Funktionenräumen (Hilbert-Raum) und partiellen Differentialgleichungen gehören heute zu den Grundlagen der mathematischen Physik. Der Einfluss von Hilberts Vorlesungen war so übermächtig, dass sein Schüler Richard Courant Hilbert, ohne dass dieser eine einzige Seite geschrieben zu haben scheint, als Koautor auf den Titel seines 1924/37 erschienenen zweibändigen Lehrbuchs Methoden der mathematischen Physik setzte. Hilbert erklärte sein Interesse für die mathematische Physik mit der Bemerkung: "Die Physik ist für die Physiker eigentlich viel zu schwer."

Am 20.11 1915, 5 Tage vor Einstein, reichte Hilbert eine Arbeit zur allgemeinen Relativitätstheorie ein, die zur einsteinschen Theorie äquivalent war, allerdings ohne die Feldgleichungen. Seine Arbeit erschien aber erst nach der Einsteinschen. Hilbert hat niemals die Urheberschaft für die allgemeine Relativitätstheorie beansprucht, was wahrscheinlich auch nicht gerechtfertigt gewesen wäre, da er in seiner Veröffentlichung auf Einstein verweist.

Hilbert wehrte sich stets gegen eine pessimistische Sicht der Wissenschaft des ignoramus et ignorabimus. Sein Glaube, dass wir die Welt verstehen können, zeigt sich in seiner Grabinschrift:

Wir müssen wissen, und wir werden wissen.

• http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/hilbert.html
• http://www.math.uni-goettingen.de/Personen/Bedeutende_Mathematiker/hilbert.html
• http://finanz.math.tu-graz.ac.at/~predota/history/mathematiker/hilbert.html
• http://www.mathematik.ch/mathematiker/hilbert.php
• http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Hilbert.html (englisch)
• http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hilbert.html